線形代数例

$y = 3 x + 2$ , $x - 4 y = 9$

ステップ 1

方程式の両辺から $3 x$ を引きます。

$y - 3 x = 2, x - 4 y = 9$

ステップ 2

点 $(p, q, r)$ を通り平面 $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ に垂直な線と平面 $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ の交点を求めるために：

1. 法線ベクトルが $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ および $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ である平面 $P_{1}$ および平面 $P_{2}$ の法線ベクトルを求めます。ドット積が0か確認します。

2. $x = p + a t$ 、 $y = q + b t$ 、 $z = r + c t$ などの媒介変数方程式の集合を作成します。

3. これらの方程式を $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ であるような平面 $P_{2}$ の方程式に代入し、 $t$ を解きます。

4. $t$ の値を利用して $t$ について、媒介変数方程式 $x = p + a t$ 、 $y = q + b t$ 、および $z = r + c t$ を解き、交点 $(x, y, z)$ を求めます。

ステップ 3

各面の法線ベクトルを求め、そのドット積を計算して垂直かどうかを判定します。

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ステップ 3.1

$P_{1}$ は $y - 3 x = 2$ です。式 $a x + b y + c z = d$ 平面の方程式から法線ベクトル $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ を求めます。

$n_{1} = ⟨ - 3, 1, 0 ⟩$

ステップ 3.2

$P_{2}$ は $x - 4 y = 9$ です。式 $e x + f y + g z = h$ 平面の方程式から法線ベクトル $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ を求めます。

$n_{2} = ⟨ 1, - 4, 0 ⟩$

ステップ 3.3

$n_{1}$ と $n_{2}$ のドット積を、法線ベクトルの対応する $x$ 、 $y$ 、 $z$ の値の積を合計し計算します。

$- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

ステップ 3.4

ドット積を簡約します。

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ステップ 3.4.1

括弧を削除します。

$- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

ステップ 3.4.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$- 3$ に $1$ をかけます。

$- 3 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

ステップ 3.4.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$- 3 - 4 + 0 \cdot 0$

ステップ 3.4.2.3

$0$ に $0$ をかけます。

$- 3 - 4 + 0$

ステップ 3.4.3

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

$- 3$ から $4$ を引きます。

$- 7 + 0$

ステップ 3.4.3.2

$- 7$ と $0$ をたし算します。

$- 7$

ステップ 4

次に、点 $(p, q, r)$ に対する原点 $(0, 0, 0)$ と、 $a$ 、 $b$ 、および $c$ の値に対する法線ベクトル $- 7$ の値を利用して媒介変数方程式 $x = p + a t$ 、 $y = q + b t$ 、および $z = r + c t$ の集合を作成します。この媒介変数方程式の集合、 $P_{1}$ $y - 3 x = 2$ に垂直な原点を通る線を表します。

$x = 0 + - 3 \cdot t$

$y = 0 + 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

ステップ 5

$x$ 、 $y$ 、および $z$ の値を標準形の方程式 $P_{2}$ $x - 4 y = 9$ に代入します。

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9$

ステップ 6

$t$ について方程式を解きます。

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ステップ 6.1

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)$ を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.1.1.1

$0$ から $3 \cdot t$ を引きます。

$- 3 \cdot t - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9$

ステップ 6.1.1.2

$0$ と $1 \cdot t$ をたし算します。

$- 3 \cdot t - 4 (1 \cdot t) = 9$

ステップ 6.1.2

$t$ に $1$ をかけます。

$- 3 t - 4 t = 9$

ステップ 6.1.3

$- 3 t$ から $4 t$ を引きます。

$- 7 t = 9$

ステップ 6.2

$- 7 t = 9$ の各項を $- 7$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- 7 t = 9$ の各項を $- 7$ で割ります。

$\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}$

ステップ 6.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$- 7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}$

ステップ 6.2.2.1.2

$t$ を $1$ で割ります。

$t = \frac{9}{- 7}$

ステップ 6.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$t = - \frac{9}{7}$

ステップ 7

$t$ の値を利用して $x$ 、 $y$ 、および $z$ について媒介変数方程式を解きます。

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ステップ 7.1

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 7.1.1

括弧を削除します。

$x = 0 - 3 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

ステップ 7.1.2

括弧を削除します。

$x = 0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})$

ステップ 7.1.3

$0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})$ を簡約します。

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ステップ 7.1.3.1

$- 3 (- \frac{9}{7})$ を掛けます。

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ステップ 7.1.3.1.1

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$x = 0 + 3 (\frac{9}{7})$

ステップ 7.1.3.1.2

$3$ と $\frac{9}{7}$ をまとめます。

$x = 0 + \frac{3 \cdot 9}{7}$

ステップ 7.1.3.1.3

$3$ に $9$ をかけます。

$x = 0 + \frac{27}{7}$

ステップ 7.1.3.2

$0$ と $\frac{27}{7}$ をたし算します。

$x = \frac{27}{7}$

ステップ 7.2

$y$ について方程式を解きます。

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ステップ 7.2.1

括弧を削除します。

$y = 0 + 1 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

ステップ 7.2.2

括弧を削除します。

$y = 0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})$

ステップ 7.2.3

$0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})$ を簡約します。

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ステップ 7.2.3.1

$- \frac{9}{7}$ に $1$ をかけます。

$y = 0 - \frac{9}{7}$

ステップ 7.2.3.2

$0$ から $\frac{9}{7}$ を引きます。

$y = - \frac{9}{7}$

ステップ 7.3

$z$ について方程式を解きます。

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ステップ 7.3.1

括弧を削除します。

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

ステップ 7.3.2

括弧を削除します。

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})$

ステップ 7.3.3

$0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})$ を簡約します。

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ステップ 7.3.3.1

$0 (- \frac{9}{7})$ を掛けます。

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ステップ 7.3.3.1.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$z = 0 + 0 (\frac{9}{7})$

ステップ 7.3.3.1.2

$0$ に $\frac{9}{7}$ をかけます。

$z = 0 + 0$

ステップ 7.3.3.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$z = 0$

ステップ 7.4

$x$ 、 $y$ 、および $z$ について解いた媒介変数方程式です。

$x = \frac{27}{7}$

$y = - \frac{9}{7}$

$z = 0$

$x = \frac{27}{7}$

$y = - \frac{9}{7}$

$z = 0$

ステップ 8

$x$ 、 $y$ 、および $z$ を計算した値を利用すると、交点は $(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)$ であることがわかります。

$(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)$

線形代数 例

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